Matemática básica Ejemplos

$\frac{64 - y^{2}}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 17 y + 70}{y^{2} - y - 56}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{8^{2} - y^{2}}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 17 y + 70}{y^{2} - y - 56}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 8$ y $b = y$ .

$\frac{(8 + y) (8 - y)}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 17 y + 70}{y^{2} - y - 56}$

Paso 2

Factoriza $y^{2} + 6 y - 16$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 16$ y cuya suma es $6$ .

$- 2, 8$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(8 + y) (8 - y)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y^{2} + 17 y + 70}{y^{2} - y - 56}$

Paso 3

Factoriza $y^{2} + 17 y + 70$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $70$ y cuya suma es $17$ .

$7, 10$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(8 + y) (8 - y)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{y^{2} - y - 56}$

Paso 4

Factoriza $y^{2} - y - 56$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 56$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 8, 7$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(8 + y) (8 - y)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{(y - 8) (y + 7)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $8 + y$ y $y + 8$ .

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Paso 5.1.1

Reordena los términos.

$\frac{(y + 8) (8 - y)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{(y - 8) (y + 7)}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 8) (8 - y)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{(y - 8) (y + 7)}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 - y}{y - 2} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{(y - 8) (y + 7)}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $y + 7$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 - y}{y - 2} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{(y - 8) (y + 7)}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 - y}{y - 2} \cdot \frac{y + 10}{y - 8}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{8 - y}{y - 2}$ por $\frac{y + 10}{y - 8}$ .

$\frac{(8 - y) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $8 - y$ y $y - 8$ .

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Paso 5.4.1

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - y) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Paso 5.4.2

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - (y)) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Paso 5.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 8) - (y)$ .

$\frac{- 1 (- 8 + y) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Paso 5.4.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (y - 8) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Paso 5.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (y - 8) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Paso 5.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (y + 10)}{y - 2}$

Paso 5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y + 10}{y - 2}$